INTRODUCTION: LES RACINES TREIZIEMES


Bien qu'il s'agisse de la racine officielle pour les records du monde de calcul mental et celle qui est le plus sujette à l'interet pour des raisons objectives, cette racine reste encore méconnue du grand public.
Si l'on exclut les parties du site qui se rapportent aux racines 13emes de 2, nous parlerons presque exclusivement des racines 13emes entieres. Cela ne veut pas du tout dire qu'on ne puisse pas extraire des racines treiziemes non entieres, mais l'interet intrinseque des racines 13emes apparait pour des calculs entiers=exacts. L'exemple le plus simple est la racine 13eme de 8192 qui vaut 2. 8192 est 2 a la puissance 13.
Pourquoi des racines 13emes et non pas des racines carrees, cubiques, cinquieme ou douzieme?

Expliquons d'abord que, pour le meme nombre de possibilites dans la reponse, certaines racines sont plus difficiles que d'autres

La comparaison se fait au nombre de possibilites et pas au nombre de chiffres de la puissance:
La racine treizieme d'un nombre de 100 chiffres (environ 8 millions de possibilites)est en effet bien plus difficile que la racine 137 eme d'un nombre de 1000 chiffres (330 000 possibilites)
Pour le meme nombre de possibilites, ces 2 racines sont aussi difficiles.

Ordre de difficulte(exemples)

10>15>12>23=17=13=7=137>667>9=19>11>21>101>1001>4>3>2>1


Tout d'abord, 13 est un nombre premier. Dans le cas d'une racine 9eme par exemple, on peut calculer successivement la racine cubique, puis la racine cubique. On ne peut pas decomposer une racine 13eme de cette facon.

Ensuite, 13 est le premier nombre a 2 chiffres de la forme 4n+1.
Il appartient a la suite 1,5,9,13,17,21,25... C'est dans ce cas, et uniquement dans ce cas que le chiffre des unites de la racine est systematiquement le meme que le chiffre des unites de la puissance 13. Cette propriete est propre au systeme decimal et n'a pas de raison de s'observer dans un autre systeme. Ainsi:

013= 0
113= 1
213= 8 192
313= 1 594 323
413= 67 108 864
513= 1 220 703 125
613= 13 060 694 016
713= 96 889 010 407
813= 549 755 813 888
913= 2 541 865 828 329
...

On en deduit la premiere regle elementaire:
pour calculer la racine 13eme d'un nombre de 13 chiffres ou moins il suffit de recopier le chiffre des unites, et pour determiner le chiffre des unites de la racine 13eme il suffit de recopier le chiffre des unites de la puissance.

On peut maintenant se demander la difference qu'il peut y avoir avec les racines 5emes, 9emes, 17emes, 21 emes et 25emes. Tout d'abord, un point négatif: tres souvent, les racines 21emes permettent de conserver les deux derniers chiffres, et non pas seulement 1 chiffre comme pour les racines 13emes. De meme les racines 101emes on tendance a conserver 3 chiffres et ainsi de suite. Cependant, ces proprietes ont toujours des exceptions. L'interet des racines 13emes s'observe en examinant de plus pres les 2 derniers chiffres de la racine.

Ce tableau donne les 2 derniers chiffres des puissances 13 des nombres inferieurs a 100, non divisibles par 10(ce sont donc toutes les possibilites de suffixes a 2 chiffres pour les puissances 13 non divisibles par 10[dans le cas des racines divisibles par 10, il y a 13 zeros dans la puissance et il suffit d'enlever les zeros pour continuer]).


-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
0- 01 92 23 64 25 16 07 88 29
1- 31 72 53 44 75 96 37 68 59
2- 61 52 83 24 25 76 67 48 89
3- 91 32 13 04 75 56 97 28 19
4- 21 12 43 84 25 36 27 08 49
5- 51 92 73 64 75 16 57 88 79
6- 81 72 03 44 25 96 87 68 09
7- 11 52 33 24 75 76 17 48 39
8- 41 32 63 04 25 56 47 28 69
9- 71 12 93 84 75 36 77 08 99

ll y a plusieurs choses a remarquer.

ET voila donc une caracteristique des racines 13emes:
Il existe une categorie bijective, ce qui n'est pas le cas des racines multiples de 5 comme la racine 5eme, 25 eme, etc... Les racines qui ont alors des proprietes analogues aux racines 13emes sont les racines d'ordre 9, 13, 17 et 21 auxquels on peut additionner des multiples de 20. On montre qu'en rajoutant 20, on obtient dans le cas de la categorie bijective les memes suffixes a deux chiffres:
exemple: la table precedente est valable aussi pour les racines 33emes, 53emes, 73emes, etc...

Mais ce n'est pas tout!
Interessons nous a la categorie bijective.

Du fait des proprietes remarquees(antisymetrie centrale et progression arithmetique dans chaque colonne), la categorie bijective peut se restreindre aux valeurs les plus elementaires et donner ce tableau minimum:

-1 -3
01 23

L'equivalence racine 13eme/puissance 77eme



Du fait que la puissance 1001=13x77 conserve les 4 derniers chiffres, nous avons cette propriété pour les quatre derniers chiffres:

X13=Y<=>X=Y77




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